Беседа с Андреем. Мтематик, преподаватель и психолог.

В школе за редким исключением на обычных уроках вся программа построена на том, что есть правильный шаблон. Я из олимпиад и в школе преподаю, и в университете.

Непреложная истина заключается в том, что нет правильного шаблона для решения задач.

Т.е. могут быть решения примеров или упражнений (в задачниках так и сказано). И нам дают упражнения, которые никто в жизни не решает, на что возникает естественный отклик, что это скучно и бесполезно. Я солидарен с этим. Можно найти разные плюсы — может вырабатываться послушание, дисциплина, терпение, умение действовать по образцу, память, но ничего связанного с математикой при этом не изучается.

В чем отличие задачи от упражнения?

Задача для математика —  это почти как в жизни для обычного человека, когда ему надо что-то сделать. Это когда есть, условно говоря, некоторая проблемная ситуация, для которой нет модели, как действовать, и эту модель надо выработать. Надо сначала осознать, что надо сделать, куда прийти, какая точка назначения, что у нас есть в текущем инструментарии (из постоянного – ручки, ножки, что мы знаем арифметику, знаем какие-то простейшие теоремы и аксиомы из геометрии). Это то, чем мы можем пользоваться. А дальше мы думаем, как эти две вещи между собой связать. Это похоже и на планирование и составление бизнес-плана, и составление плана, как похудеть. Т.е. план похудеть, составление нормального жизнеспособного плана имеет к математике гораздо больше отношения, чем то, что в школе происходит.

Какие выводы из этого можно сделать?

Если математика это дисциплина, наука о том, как решать задачи, как находить себя и свои действия в ситуации неопределенности, причем не просто действия, а гарантированные, которые дают какой-то шаблон, по которому дальше все остальные смогут это делать, то получается, что это дисциплина о центрировании.
О том, как прийти к состоянию, когда ты чувствуешь себя полностью уверенным, и совершаешь правильные действия, но добавляется еще один момент – не субъективно, а по некоторым общим для всех правилам. Т.е. все на равных, это еще один тонкий момент. Никто про это в школе обычно не говорит, до 7 класса, дети обычно это плохо понимают, это начала логики. И есть небольшое количество правил, которые определяют эти процессы.  Правила как доказывать – непосредственно матлогика. Их на самом деле очень мало. Одно правило вывода (как делать правильные выводы, математически строгие), есть несколько правил, как фразы разбирать (правда или неправда), и есть еще то, что мы знаем по геометрии – аксиомы. Оказывается, аксиомы есть не только в геометрии, в алгебре тоже есть, то, что нас во 2 классе учат складывать, умножать, переставить слагаемые, скобочки раскрыть.

Их не надо доказывать, потому что их доказывать будет логической ошибкой, это то с чего мы стартуем. И все остальное это то, что получается, когда мы играем с этим конструктором. Т.е. есть фундаментальные камешки, которые лежат в основе.

То есть с помощью них можно проверять свои действия?

Придумываем мы немножко по другим правилам, а по этим проверяем, что как работает. И эти правила можно найти на Википедии, в некоторых учебниках, их всего в пределах 40 и штук 25-30 мы знаем еще со 2 класса, хотя нам об этом не говорят. А все остальные «заклинания» это результат использования этих правил, а нам предлагают их запомнить, например формулу дискриминанта. На самом деле не надо помнить. Нормальные математики не помнят формулу дискриминанта зачастую, потому что они способны ее вывести за пару секунд. Примерно помня, как это выглядит, они способны полностью восстановить в памяти за пару секунд всю эту картину, формулу в правильном виде, но им не обязательно среди ночи, когда их разбудят, помнить это наизусть.

А чем отличается мышление математика от мышления обычного человека?

Наверное, оно зачастую использует чуть больше деталей и чуть больше случаев разбирает.

Шире картина? Может быть еще так, и так, и так.

Приблизительно. Математику, чтобы сделать вывод, нужно набрать больше информации, прямо исчерпывающую информацию взять. И когда у нас есть полнота знаний, из этого делать какие-то полностью правильные выводы. И в жизни, конечно, это бывает не так просто, поэтому зачастую математики теряют, потому что не понимают, как по-другому мыслить, не математически.

А в чем теряют — в скорости?

Да, и еще могут терять в нерешительности, они ожидают, что в жизни сработают точно те же правила, что в математике, на самом деле нет. Есть замечательная математическая теорема, что если у нас есть какая-то непростая теория, которая заключается не только в том, что 2Х2=4, не одноходовка, то для такой теории всегда есть что-то, что невозможно исходя из нее доказать. Если мы берем за основу несколько изначальных фактов, аксиом, всегда найдется что-то, что мы не можем обосновать, ни сказать, что это точно правда, ни точно неправда (в рамках этой теории). Всегда есть место чуду. Это, скорее всего, будет какая-то жизненная штука, жизненный опыт, и ее можно будет использовать как новую аксиому, и использовать ее, чтобы сделать больше выводов про мир вокруг, про себя.

Исключение из правил?

Не совсем, это даже не про то. Это про то, что не стоит ожидать, что из набора формул можно вывести весь мир вокруг.

Это приятно)

Да, для не-математиков это очевидно. Не-математикам неочевидно другое – что большая часто того, что нас окружает, все-таки выводится. Достаточно взять несколько еще простых правил из жизни, очищенных от непонятных довесков, добавок, и из них почти все остальное будет объясняться очень хорошо и очень сильно. Это то, почему процветают аналитические агентства, почему в принципе у математики было очень хорошее время в 70х и 80х. И почему начинается новый бум в связи с открывшимися новыми технологиями систем искусственного интеллекта, программирования на новом уровне. Предсказуемость очень большая. Это про предсказуемость, желание просчитать свои  действия, результаты своих действий, последствия, быть в безопасности.

Быть заземленным? Это ведь про одно и то же, безопасность и заземление?

Заземление мне помогает даже в ситуации неопределенности. Потому что я в лучшем контакте с собой, у меня есть опора, и даже в ситуации неопределенности есть на что опираться. В нашей полосе землетрясения огромная редкость, и я разговаривал с нашими, которые ездили в Японию, Ощущение, что земля уходит из-под ног, это уже что-то совсем другое, нечто разрушающее шаблоны.

Можно ли сказать, что математик живет в боле логично простроенном мире?

Математик свой мир затачивает под то, чтобы он был более системным, предсказуемым. Причем это свойство только мышления, в квартире у математика может быть беспорядок:)

А теория относительности? А что с ней?

У меня нет знания про это, но я так понимаю, это про то, что в определенных условиях эти законы не будут действовать или будут действовать по-другому. Это про контакт с жизнью как раз и про модель. Во всех моделях, которые мы в науке используем, не только в математике, у нас есть такая позиция, что мы можем пользоваться числами спокойно, вообще не задумываясь.

Например, в психологии провести опыт, собрать статистику и получить какой-то результат. И в этом процессе мы даже не задумываемся, что для разных опытов у нас могут быть разные психологические модели, а вот почему-то числа мы используем одни и те же, мы даже не задумываемся.

Ну и получается, что есть какая-то математическая составляющая, которую мы всегда подразумеваем, но для математики тоже правда, что могут быть разные модели. И неевклидова геометрия это модель, которая не очень хорошо подходит, для того, чтобы этот мир описывать, который мы видим рядышком.
Если мы посмотрим на дорогу, нам гораздо проще считать, что это 2 параллельные прямые, и они не пересекутся, потому что жизненный опыт подсказывает, что они не пересекутся и нам так удобнее проектировать дороги и т.д. и т.п. А если мы про космос начнем рассуждать, то окажется, что этот опыт менее обоснован, там другие объекты и для них выполняются какие-то другие правила. То, что подходит мне, может не подходить тебе, и нам не подходят одни и те же законы, темы для разговора.

Оказывается, что, казалось бы, естественная мысль – так не только в человеческом общении, надо использовать инструменты, которые подходят к ситуации. Если забиваю гвоздь, наверное, стоит использовать молоток. Если я пилю, молоток может сработать, лучше использовать пилу.

Неевклидова геометрия – это не о том, что евклидова геометрия не работает, это о том, что есть разные модели. Когда нам больше подходят одни правила, мы используем их, а когда нам больше подходят другие правила, мы используем второй набор. И между ними нет противоречий (между пилой и молотком нет противоречий, это два разных инструмента).

А есть математическое чутье? Выбор правильного варианта. Как выбирается верное решение, что еще помогает?

Думаю, математическое чутье есть, единственное, хороший вопрос – чисто ли оно математическое или не совсем. Часто это какое-то такое физическое или общечеловеческое чутье. Часто у хороших математиков широкий кругозор, они владеют большим объемом информации в разных областях. У них память нормальная, они читают, особенно это видно по математикам чуть более старшего поколения, хотя сейчас тоже есть очень яркие красивые примеры такого стиля быть математиком. Люди интересуются искусством, действительно широко воспринимают мир вокруг.

Зачастую какие-то математические догадки делали под наблюдением от каких-то физических явлений. В математике чутье обычно — это чувствовать аналогии. То, что мы можем в какой-то ситуации, с которой мы уже встречались, выделить полезную часть, которая отдаленно еле уловимо напоминает, то, что есть здесь, и мы можем часть ситуации положить туда, разложить на эти полочки.

Тут может быть ловушка, что ситуация только кажется похожей.

Тогда, как и в жизни, нам приходится отказываться от наших первых попыток и пробовать по новой, придумывать что-то принципиально отличающееся. Это кстати, хороший вопрос, как придумать не то, что похоже, а то, что прям очень сильно по-другому. И обычно тоже по аналогии, но может более высокоуровневой искать пути, которые сближают эти две точки, А и Б. Ведь мы можем продвигаться и оттуда, и оттуда, и в идеале мы когда-то встречаемся.

Есть такая тема, что нужно найти оптимальный путь, самый короткий? Есть понятие красоты в математике и как это сочетается с оптимальностью решения?

Оптимальное решение — это математический термин. В разных ситуациях по-разному, в зависимости от того, что мы оптимизируем, но обычно это четко поставленная задача и речь о красоте в самой задаче не идет. Решение может быть красиво как раз в том плане, что оно оптимально. Параметры оптимального решения заданы обычно в потребности. Если мы говорим о каком-нибудь алгоритме, то для нас может быть важно — за какое время мы сможем этот алгоритм выдать.

Есть такие алгоритмы, которые мы знаем, что работают, но они работают медленно и мы не знаем, за сколько они сработают. А когда мы вводим уточнение, оказывается, что они работают дольше, чем жизнь человека или по оценкам физиков жизнь человечества будет длиться. Тогда мы понимаем, что теоретический смысл есть, но если мы это собираемся где-то применять, смысл резко теряется. Оптимальности в плане использования сразу нет.

Если мы придумали алгоритм, что быстрее сделать невозможно, то в этом есть некоторая сила – у нас есть предсказуемость, т.е. мы понимаем, что, как ни крутись, действуя таким способом, мы нового результата не получим. Надо смириться с этим и пользоваться тем, что есть, либо искать другие пути. Часто эти решения – ни с какой стороны не скажешь про них, что они красивые. С другой стороны, есть какое-то общечеловеческое понимание, что такое красиво, с перекосом в техническую сторону и тогда красота определяется тем, насколько методы, которые использованы, подходят к такой ситуации.

В принципе, когда мы говорим о красоте в жизни, кажется, что красота включает в себя много таких не очень четких вещей, которые не так просто сформулировать.

Насколько это красиво, физический объект, который можно пощупать руками или на что можно взглянуть, насколько оно подходит окружающему миру, насколько оно сочетается с ним, насколько оно, наоборот, контрастирует с ним, насколько методы, которые использованы, актуальны или связаны с методами, которые были использованы раньше. Насколько гармоничнее в плане пропорций – вот этот конь, например, он похож и на живого коня, и у него развита мускулатура, т.е. это какой-то идеальный конь.

Когда это в слова обращаешь, это выглядит глупо, но когда смотришь, выглядит хорошо).

В математике, чтобы увидеть эту красоту, нужно представлять еще из каких частей состоит математика, даже не то чтобы понимать все части, а суметь отметить, насколько сама ситуация включена в жизнь, насколько математическое решение удачно подходит к жизненной ситуации. Насколько методы, которые используются там, подходят к самой ситуации.

Иногда можно сделать полный разбор случаев, если их действительно очень много, это тоже будет правильным решением. А в какой-то другой ситуации окажется, что ловким метким замечанием примерно как меткое слово у Пушкина можно отсечь все случаи или почти все случаи и сократить длину рассуждения в 100 раз. Т.е. не перебирать 150 вариантов, а сказать, почему эти 100 точно не подходят. Вообще говоря, тут должен быть разбор всех случаев, но нам удалось обойтись одной фразой. Тут чувствуешь — да, произошло что-то красивое.

Есть математика ради математики. Для меня математика и жизнь сильно связаны, т.к. это моя профессиональная область. Для меня математика для математики – это математика для жизни. А так бывает как красота ради красоты. Бывает вещи, которые замкнуты в себе и это неплохо, но хорошо, когда находятся связующие звенья с чем-то еще.

Какие для тебя есть аналогии математики с жизненными ситуациями, что для тебя полезно?

Мне важно в математике то, насколько она подходит, естественным образом переплетается с жизнью, даже если мы этого не видим. Достижение целей, потребностей, формулировки наших мечтаний. Для меня это просто как половинка что ли, жизни. Мне очень нравится фраза, что любой шедевр рождается дважды. И они как бы независимы друг от друга и могут сильно отличаться, но без каждого из этих этапов шедевра не получится, и не только шедевра, но и не только шедевра, то же самое я бы сказал про решение любой насущной задачи.

Сначала мы понимаем, что нам хочется чего-то – в разном смысле (надо, необходимо), или я мечтаю о том, что и появляется идея. А потом можно придумать, каким образом, она может произойти. На этапе придумывания для меня очень много математики, там такая тесная связь математики и жизни, когда мы что-то придумали, проверили, подходит ли к нашей идее, потом посмотрели дальше, что с этим делать, еще чуть-чуть придумали, дальше в жизнью соединили, и получается такой процесс, когда мы постоянно обращаемся то сюда, то сюда.

Это про точки А и Б, точка в которой мы находимся и точка результата?

Приблизительно. Тут получается много таких точек, и мы постоянно каждый раз, когда добрались до какой-то точки или поняли, что туда вообще не попасть оттуда, где мы сейчас есть, мы делаем такую сверочку, то ли это, что нам надо.

Как с точкой Б?

В задаче нет такого четкого ответа, что мы должны получить. Математический ответ разрешения этого парадокса в том, что ты действительно себя перенесла в ту ситуацию и можно сделать четкий, строгий или резкий вывод.

Если мы переносимся в ту ситуацию, что вот мы решаем эти упражнения, у нас есть ответ и надо подогнать под него формулу, то в какой-то мере это поиск, конечно, но в каком-то очень утрированном усеченном виде, без решения задачи. И это действительно не задача.

Когда ты идешь в точку Б, что ты про нее знаешь? В математике или в жизни?

В математике есть очень четкое представление, что будет в точке Б. Оно задано условием задачи. Формулировка состоит из двух частей, эти части и есть то строгое, фундаментальное, что не пошатнется никаким образом.

Тут нужно четко понять условие, которое дано?

Да, с этого все начинается.

Т.е. если ты не совсем понял условие, ты не совсем представляешь себе точку Б?

Не совсем так. Тут условие просто стоит разбивать на две части, потому что обе части важны. Там есть условие то, что у нас имеется на руках (дано), и есть то, что нам надо сделать. И у этого, что нам надо сделать, есть очень четкое описание. В том плане, что там есть все критерии, по которым мы будем проверять, и если это не какие-то странные эксперименты над школьниками, там не пропущенных критериев. Все, что только может быть по поводу проверки конечной точки, все ее параметры, они там заданы.
Получается, чтобы осознать эту точку Б надо внимательно прочитать условие, действительно, и осознать, какая часть того, что там написано, относится к точке Б. Самое строгое понимание этой точки Б берется именно оттуда.

В этом отличие от жизни? Точку Б мы можем создать сами, но там будет очень много корректировок от жизни потом.

Наверное, но мне кажется не совсем так. Когда у тебя появилось какое-то желание, у тебя нет вопросов. Я хочу велосипед, или торт. В жизни, если это сложная цель, ты придумываешь. Наверное, можешь купить один торт, а понять, что хотел чуть-чуть другой. И от того, насколько мы поняли, чего хотим, может зависеть насколько нам понравится. А может потом еще оказаться, что в покупку торта включалось, что мы не хотим заранее думать, какой торт, а хотим, чтобы это было неожиданно. И выбирать торт было неправильным ходом. Сначала понимаем параметры, а потом появляется модель.

Есть ребята, у которых много выработанных препятствий перед тем, чтобы пользоваться математикой. Для многих это вообще боль – любое столкновение с математикой, математической формулировкой.

Школьная неуспешность?

Выработанное ощущение бессилия. Непонимание, в каком направлении  двигаться, что вообще можно делать. Если на каждый шаг, который мы делали, давали какое-то подтверждение, что это либо правильно, либо неправильно, т.к. никакой системы не было, то вырабатывается, что каждый шаг надо проверять.

Если у нас хотя бы двухходовка, то мы уже сами не можем решить, потому что промежуточный шаг мы сами не сделаем. Мы сделаем какое-то движение по направлению к нему и будем ждать, пока нам скажут, правильно или неправильно.

На школьниках очень хорошо видно, выработанное бессилие, как я это называю.

Получается, нужно знать, как самому себя проверить?

Должна быть изначальная точка опоры, в которой я уверен абсолютно, что я делаю, что я могу хоть что-то делать. А дальше хоть маленькими шажками, если нужно их больше, кто-то более талантливый или у кого бэкграунд помощнее в плане математики, они побыстрее это будут делать. Те, у кого этого меньше они может медленнее, но тоже будут делать. И это покрывает эту дистанцию непонимания.

В данном случае уверенность дает проверяемость шагов? Ты делаешь шаг, знаешь, что он правильный или неправильный, ты его проверяешь?

Фактически, да. Решение задачи для многих, настоящей задачи — это стресс. Там может быть эффект, что человек получает кайф, встречаясь со стрессом. Это выход из зоны комфорта, но чтобы выйти из зоны комфорта, надо туда сначала как-то попасть. И этой зоны комфорта в плане решения, ее практически ни у кого нет, разве что на уровне арифметики, потому что таблицу умножения все помнят, но с таблицей умножения далеко не уйдешь, сейчас калькуляторы гораздо с большей уверенностью справляются с этими задачами. То, что у нас было раньше, обесценилось, то, что мы точно умели (дискриминанты вычислять) – ни разу не пригодилось, а все реальные ситуации – мы не знаем, как к ним подступиться и зоны комфорта вообще нет.

Как человек попадает в зону комфорта? Нарабатывается со временем или есть список правил?

Есть базовый подход, философия, объяснение, как это работает. Во-вторых, показать, что это встречается в жизни, что люди на самом деле это делают. Это очень помогает понять человеку, что на нем рано крест поставили, что он и так это делает, значит справляется. И в-третьих — дать точную технологию, из чего это на базовом уровне состоит.

Т.е. есть логика, которая состоит из двух частей, логика как понять смысл фразы, второе – логика доказательства, что есть всего лишь одно правило, как можно делать правильные выводы и базовые кирпичики про аксиомы и буквально несколько, по пальцам перечесть, эти приемы. Уже этого достаточно. Ну и вообще говоря, корректное общение с человеком тоже очень помогает. Если убрать постановку вопроса, что есть люди неспособные или есть люди тупые, хотя бы отказаться на время от этого, то происходят чудеса, люди оказываются умными и даже умнее тех, кто их называл глупыми.

Если  они получают ощущение уверенности, они начинают решать такие задачи, что, если заранее поставить это как цель, и работать именно над этим, они может никогда не добрались бы до этого. Планомерно делать какие-то промежуточные шаги, пытаться…а если человек сам начинает работать, он делает гораздо больше.
И эффект группы. Они могут пообщаться еще на своем языке, менее математическом.